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3499:連続体力学
連続体力学 (れんぞくたいりきがく、continuum mechanics)とは固体と流体の運動及び力学的挙動を解析する力学の一分野である。連続体力学では対象を巨視的に捉え、空間的に微分可能な連続体に理想化し、物体内部の各点における力学的な関係式を元に、変形・流動、波動の伝播、エネルギーの変換等を論じる。

概要

ニュートンより始まったニュートン力学は質点系の力学であり、質点あるいは質点と見なし得る剛体の運動を対象とし、変形を伴った物体の運動を扱うことは出来ない。連続体力学では、物体を質点の集合体として捉えることで、巨視的な視点における変形を伴った物体の運動を論じることを可能とする。こうした概念は、材料力学や水力学などの応用力学においても共通のものであるが、応用力学が特定の物質あるいは特定の状態に対象を限定しているのに対し、連続体力学では対象を限定せず一般化された議論を行なう。連続体力学で使われる概念は、原理的には対象の組成に因らないものであり、その応用範囲は広い。そのため、材料工学において組成の異なる材料の機械的性能の比較を論じるときなどにも、連続体力学の言葉で行なうことが可能である。

現実の物質は原子や分子の集合体で構成され、微視的な視点においては不連続性や不確実性を有している。しかし、連続体力学においては物質を巨視的に捉えることで、こうした微視的な不連続性、不確実性を度外視し、物質を質点の連続的な集合体たる連続体と理想化して扱う。そのため、物質の挙動は支配方程式と呼ばれる微分方程式を用いて把握することが可能となる。微分方程式の内の幾つかは保存則と呼ばれ、質量保存則（連続の方程式）、エネルギー保存則（熱力学第一法則）のような根本的な物理法則を捉えた物であるが、残りのものは研究対象である物質固有のもので構成式と呼ばれる。

連続体力学は固体や流体に関連する物理量を取り扱い、その物理量は標構（観察の基準となる座標系）に依存することはない（物質標構無差別性の原理）。そのため、これらの物理量は座標系から独立した数学的な対象であるテンソルで表現され、計算上便宜な座標系を用いて表すことが可能となる。多くの場合、これらのテンソル式は指標法を用いて表現される。

連続体の概念

現実の物質は内部に微小構造を持ち、空虚な空間を含み、連続ではない。また微視的な視点からはエネルギーやモーメントのような物理量のゆらぎも許容している。しかしながら研究対象となる物理的現象によっては、こうした微視的な不連続性、不確実性を考慮する必要はなく、巨視的な視点で論じることが可能である。この時物質は連続体と理想化される。連続体は、物質の巨視的な性質を保持した質点の集合体であり、質点は物質の存在する空間内に連続的に、密に分布している。そのため連続体内部の特性は空間的に連続であり、微分方程式を用いて把握することが可能になる。連続体は無限小の要素にまで分解可能であり、その特性はサイズによって変わることはない。

連続体とは巨視的な物理モデルの概念であり、考慮すべき問題のタイプもしくは物理現象のスケール如何では有効ではない。物質は、自身の持つ内部構造あるいは分子間距離のスケールが問題の次元に比して十分に小さい時、連続体と想定され得る。一例として、土質力学における土壌堆積変形挙動の解析、すなわち土台下の土壌の沈下を挙げる。ある与えられた体積土壌内には、一定の法則にしたがって鉱物の固形微粒子（粒）が詰め込まれ、間に空孔のある不連続な内部構造を形成している。この意味においては土壌は連続ではない。しかし土壌の微粒子は問題のスケールに比べると十分小さく、変形解析単純化のため、土壌を連続体として想定することが可能である。

こうした連続体仮定の有効性は、それぞれの物質に関し、想定される負荷条件と同条件下での実験、計測に基づいた経験的な検証を必要とする。流体においてはクヌーセン数が判断の基準になる。

連続体の分類

連続体の分類着目点は幾つか存在し、その一つが応力と歪みの関係による分類である。応力と歪みの関係を記述する関係式は構成式と呼ばれ、構成式の違いから連続体は、弾性体、塑性体、粘弾性体、完全流体、粘性流体などに分類される。

一般に物体は固体、液体、気体の三体に分類されるが、連続体力学において液体と気体の間に本質的な違いはなく流体にまとめられ、連続体は固体と流体に大別される。固体と流体の差異はせん断応力に対する挙動の違いとして表れる。固体に関しては静止状態においてもせん断応力が存在し得るが、静止状態の流体では圧力と呼ばれる垂直応力しか存在しない。

固体は弾性体、塑性体、粘弾性体に大別される。弾性体は応力と歪みの関係が一意的に定まっており、負荷時、徐荷時とも同一の応力-歪み線図を描く性質を持つ。多くの場合、応力と歪みの間に比例関係が成り立つ線形弾性体と理想化して扱われる。塑性体においては、永久歪みが生じることで負荷時と徐荷時の応力-歪み線図が同一のものとはならず、ヒステリシスが発生する。塑性体の永久歪みには時間依存性はなく、時間依存性を伴った永久歪みは粘弾性体の特徴とされる。その他、力を加えても全く変形しない剛体も存在する。剛体も固体の一種であり弾性体の特殊な場合と考えられるが、変形に伴う話題がないので連続体力学において通常単独で扱われることはない。

流体の分類である気体と液体は、連続体力学の巨視的な視点では本質的な違いはない。分子レベルまで微視的に観察すると、分子に分子間力を振り切るだけの運動エネルギーがなく分子同士が常に隣接しているのが液体であり、運動エネルギーが十分大きく分子が自由に運動しているのが気体である。結果として、液体は圧縮性が小さく（密度の変化が小さく）、多くの場合非圧縮性流体として扱われる。一方、気体は体積は圧力によって大きく変化する（密度変化が大きく無視できない）ため、圧縮性流体として扱われる。構成式に着目した場合、流体は粘性抵抗の有無により、完全流体と粘性流体に分類される。流体力学草創期のベルヌーイやオイラーの頃は流体には如何なる時にもせん断応力が生じないと考えられていた。現在では、流体に関しても運動時に粘性によるせん断抵抗が発生することが知られている。しかし粘性抵抗が十分小さい物質の場合、せん断応力の発生しない完全流体として扱われる。粘性流体は、せん断応力と歪み速度の間の線形性の有無により、ニュートン流体と非ニュートン流体に区分される。

連続体の数学的モデル

200px|right|thumb|図 1. 連続体の形状
連続体力学において、物体$\backslash mathcal\; B$ は微粒子あるいは質点と呼ばれる無限小の体積要素$\backslash \; X$ の集合体として捉えられる。そのため如何なる形状の物質であれ、物質の存在する三次元ユークリッド空間$\backslash mathcal\; E$ 内においては、全ての微粒子$\backslash \; X$ と空間点の間に一対一対応が存在する。

図1に示すように、特定の時間$\backslash \; t$ における物体$\backslash mathcal\{B\}$ の形状$\backslash \; \backslash kappa\_t(\backslash mathcal\; B)$ は、全質点に関して任意の基底に対する位置ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; x\; =x\_i\; \backslash mathbf\; e\_i$ によって描写される。数学的にはこれは式（1）で記述される。

{{Indent|$\backslash \; \backslash mathbf\{x\}=\backslash kappa\_t(\backslash mathbf\; X)$　･･･式（1）}}

ここで$\backslash \; \backslash kappa\_t(\backslash cdot)$ は連続的な関数であり、可逆、微分可能である。

運動と変形

400px|right|thumb|図2.連続体の運動
連続体の運動は変位を引き起こす。物体の変位は、変形を伴わない並進、剛体回転、及び変形に分解される。変形とは初期状態から物体の形状、大きさが変化することを指し、図2においては変形無し形状$\backslash \; \backslash kappa\_0(\backslash mathcal\; B)$ から変形形状$\backslash \; \backslash kappa\_t(\backslash mathcal\; B)$ への変化に相当する。

連続体の運動とは、連続的な時間における連続的な移動のことであり、物体は時間毎に形状を変え、微粒子は空間内にパスラインと呼ばれる一連の点を描く。

連続体の変形、運動に関して次の意味で連続性が存在する。

• ある時点において、閉曲線を形成している質点はその後も必ず閉曲線を取り続ける。
• ある時点において、閉じた面を形成している質点はその後も必ず閉じた面を形作り、面の内部に存在する質点は内部に止まり続ける。

これは、あらゆる形状に関して基準形状の同定に便利である。基準形状は物体がそれまで実際に形作ったものである必要はないが、多くの場合時間$\backslash \; t=0$ における変形なし形状$\backslash \; \backslash kappa\_0\; (\backslash mathcal\; B)$ が基準形状とされる。

物質表示と空間表示

固体の変形や運動あるいは流体流れの解析の際、時間に対する形状変化の描写が必要となる。この運動を記述するには、物質表示（material description）と空間表示（spatial description）の２種類の記述法が存在する。物質表示は連続体中の一質点を同定し、その運動を追跡して記述する方法であり、ラグランジュ表示（Lagrangian description）あるいはラグランジュ記述とも呼ばれる。物質表示においては、質点を変形なし形状$\backslash \; \backslash kappa\_0\; (\backslash mathcal\; B)$ における位置$\backslash \; \backslash mathbf\; X$ を用いて同定し、連続体中の物理量は位置$\backslash \; \backslash mathbf\; X$ と時刻$\backslash \; t$ の関数として表される。空間表示は連続体中の一空間点を固定し、そこを通過する質点の運動を記述していく方法であり、オイラー表示（Eulerian description）もしくはオイラー記述とも呼ばれる。空間表示においては、空間点を現在、つまり時刻$\backslash \; t$ の変形形状$\backslash \; \backslash kappa\_t\; (\backslash mathcal\; B)$における位置$\backslash \; \backslash mathbf\; x$ を用いて固定し、連続体中の物理量は位置$\backslash \; \backslash mathbf\; x$ と時間$\backslash \; t$ の関数として記述される。例えるならば、川の流れに浮かぶ木の葉の運動を追い続けるのが物質表示であり、川の一点にセンサーを固定し流れの変化を記録するのが空間表示である。通常、固体力学では物質表示が使用されるのに対し、流体力学の記述には空間表示が適している。

物質表示、空間表示の両者において、基底（座標系）の取り方として、物質に関連付けた基底（物質基底）、空間に関連付けた基底（空間基底）の2通りの取り方が可能である。上述の川の例えで言うならば、木の葉に基底を置き、観察者が木の葉と共に移動するのが物質基底であり、絶対標構に基底を置き、観察者は川辺の一点から動くことなく観察を行なうのが空間基底である。物質基底を用いた座標系を物質座標系、空間基底を用いたそれを空間座標系と呼ぶ。図2の形状$\backslash kappa\_t(\backslash mathcal\; B)$ に関して物質基底は$\backslash \; \backslash mathbf\; e$ 、空間基底は$\backslash \; \backslash mathbf\; E$ に当る。そのため連続体の運動の記述には計4通りの方法が存在することになるが、物質表示使用時には物質座標を、空間表示使用時には空間座標を用いるのが一般的である。

物質表示

物質表示においては、質点の位置や物理的特性は、物質座標つまり基準座標及び時間の中で記述される。ここで、基準形状は$\backslash \; t=0$ における変形なし形状である。基準標構内に居る観察者は、時間が進み空間内で物体が運動をする間、位置や物理的特性の変化を観察することになる。こうして得られた結果は、初期時間$\backslash \; t\_0$ 、基準形状$\backslash kappa\_0(\backslash mathcal\; B)$ の選択の仕方に影響を受けることはない。

物質表示における連続体の運動は、写像$\backslash \; \backslash chi(\backslash cdot)$ を用いて式（2）のように表わされる。

{{Indent|$\backslash \; \backslash mathbf\; x\; =\; \backslash chi(\backslash mathbf\; X,\; t)$ ･･･式（2）}}

これは変形なし形状$\backslash kappa\_0(\backslash mathcal\; B)$ から時刻$\backslash \; t$ の変形形状$\backslash kappa\_t(\backslash mathcal\; B)$ への写像であり、両者間に幾何学的対応を与えている。つまり、質点$\backslash \; X$ について基準形状$\backslash kappa\_0(\backslash mathcal\; B)$ における位置ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; X$ 及び時刻$\backslash \; t$ における位置ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; x$が与えられれば、時刻$\backslash \; t$ における変形形状$\backslash kappa\_t(\backslash mathcal\; B)$ の把握が可能となる。

物質表示において、物体の状態を記述する速度や熱力学的特性のような物理的、運動学的特性$\backslash \; P\_\{ij\backslash ldots\}$ は、位置ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; X$ と時間$\backslash \; t$ の関数として$\backslash \; P\_\{ij\backslash ldots\}=P\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; X,t)$ と表現される。これは特定の質点を基準形状における位置ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; X$ を用いて同定し、時間毎の特性を記録するに等しい。そのため、特性$\backslash \; P\_\{ij\backslash ldots\}$ がスカラーであれベクトルであれテンソルであれ、$\backslash \; P\_\{ij\backslash ldots\}$ の時間に対する微分は質点の時間に対する特性変化率に等しく、$\backslash \; \backslash mathbf\; X$ を定数と置いた偏微分となる。こうした微分、導関数は物質導関数（material derivative）、物質時間導関数（material time derivative）、物質微分、あるいはラグランジュ微分（Lagrangian derivative）と呼ばれ、式（3）のように$\backslash \; D\; /\; Dt$ で表される。

{{Indent|$\backslash \; \backslash frac\{D\}\{Dt\}[P\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; X,t)]\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; [P\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; X,t)]\; \backslash right)\_\{\backslash mathbf\; X\}$ ･･･式（3）}}

ある瞬間における位置$\backslash \; \backslash mathbf\; x$ は質点に関する特性の一つであり、その物質導関数は質点の瞬間速度$\backslash \; \backslash mathbf\; v$ である。瞬間加速度$\backslash \; \backslash mathbf\; \backslash alpha$ もまた瞬間速度$\backslash \; \backslash mathbf\; v$ の物質導関数である。それ故連続体の速度場、加速度場はそれぞれ式（4）、（5）で表わされる。
{{Indent|
$\backslash \; \backslash mathbf\; v\; =\; \backslash mathbf\; \backslash dot\; x\; =\backslash frac\{D\; \backslash mathbf\; x\}\{Dt\}=\backslash frac\{D\; \}\{Dt\}\; \backslash chi(\backslash mathbf\; X,t)$ ･･･式（4）

$\backslash \; \backslash mathbf\; \backslash alpha\; =\; \backslash mathbf\; \backslash dot\; v\; =\; \backslash mathbf\; \backslash ddot\; x\; =\backslash frac\{D^2\; \backslash mathbf\; x\}\{Dt^2\}=\backslash frac\{D^2\}\{Dt^2\}\; \backslash chi(\backslash mathbf\; X,t)$ ･･･式（5）
}}
物質表示における連続性は、質点の基準形状から時刻$\backslash \; t$ の形状への写像$\backslash chi(\backslash cdot)$ に関する空間的、時間的な連続性によって表現される。連続体を特徴づける全ての物理量もまた同様に記述される。通常$\backslash chi(\backslash cdot)$ や$\backslash \; P\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash cdot)$ は二階もしくは三階のテンソル場であるが、階数が幾つであれ時間や空間に対する連続的な導関数を持ち、一意的であり連続である。

空間表示

写像$\backslash chi(\backslash cdot)$ の連続性により、時刻$\backslash \; t$ に$\backslash mathbf\; x$ に占位している質点に関し、変形なし形状$\backslash kappa\_0(\backslash mathcal\; B)$ における座標まで跡を辿ることが可能となる。この場合、時刻$\backslash \; t$ における形状を基準形状として運動の記述が為される。これが空間表示である。

空間表示はダランベールによって導入されたものであり、時空間を動き廻る個々の質点に注意を払う代わりに、時刻$\backslash \; t$ における形状$\backslash kappa\_t(\backslash mathcal\; B)$ に焦点を当て、時間の経過と共に空間内の固定点で発生する事象に注意を払う。流体はそれ以前の変形形状を持たず、その後の質点の挙動を把握する必要がないため、このアプローチは流体流れの研究、つまり流体力学に適している。空間表示では、特定の質点を同定する代わりに固定された空間点を同定し、速度、加速度、熱力学的特性等の異なる物理的特性を持つ異なる質点が通過する間、空間点で発生する変化率を記述する。

空間表示による連続体の運動は、数学的には式（6）の写像で表現される。

{{Indent|$\backslash mathbf\; X=\backslash chi^\{-1\}(\backslash mathbf\; x,\; t)$ …式（6）}}

この写像は、変形形状$\backslash kappa\_t(\backslash mathcal\; B)$ 内の位置$\backslash mathbf\; x$ から変形なし形状$\backslash kappa\_0(\backslash mathcal\; B)$ 内の元の位置$\backslash mathbf\; X$ まで質点の跡を与える。

この逆関数が存在するための必要十分条件は、式（7）のように ヤコビアン$\backslash \; J$ が0とならないことである。

{{Indent|$\backslash \; J=\backslash left\; |\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash chi\_i\}\{\backslash partial\; X\_J\}\; \backslash right\; |=\backslash left\; |\; \backslash frac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; X\_J\}\; \backslash right\; |\backslash neq0$ …式（7）}}

空間表示において物理的特性$\backslash \; P\_\{ij\backslash ldots\}$ は式（8）で表現される。

{{Indent|$\backslash \; P\_\{ij\; \backslash ldots\}=P\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; X,t)=P\_\{ij\backslash ldots\}[\backslash chi^\{-1\}(\backslash mathbf\; x,t),t]=p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)$ …式（8）}}

ここで、物質表示における$\backslash \; P\_\{ij\; \backslash ldots\}$ の関数形と、空間表示における$\backslash \; p\_\{ij\; \backslash ldots\}$ の関数形は異なる。つまり、物質表示においては時間$\backslash \; t$ と質点、つまり位置ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; X$ の関数であるのに対し、空間表示では時間$\backslash \; t$ と空間点、つまり位置ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; x$ の関数となる。そのため、時間に関する微分についても物質導関数とは異なる。空間表示における時間微分は空間導関数（spatial derivative）、もしくは空間時間導関数（spatial time derivative）、空間微分、オイラー微分（Eularian derivative）とも呼ばれ、物質微分$\backslash \; D\; /\; Dt$ と区別して$\backslash \; \backslash partial\; /\; \backslash partial\; t$ もしくは$\backslash \; \_D\; /\; \_D\; t$ で表される。$\backslash \; D\; /\; Dt$ と$\backslash \; \backslash partial\; /\; \backslash partial\; t$ を逆に取る事もある。そのため、$\backslash \; p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)$ の空間導関数は式（9）のようになる。一方、連鎖律を用いて$\backslash \; p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)$ の物質導関数を展開すると式（10）が導かれる。
{{Indent|
$\backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}[\; p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)]\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; [p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)]\; \backslash right)\_\{\backslash mathbf\; x\}$　…式（9）

$\backslash \; \backslash frac\{D\}\{D\; t\}\; [p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)]=\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}[p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)]+\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_k\}[p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)]\; \backslash right)\; v\_k$ …式（10）
}}
式（9）の左辺の$\backslash \; \backslash partial\; /\; \backslash partial\; t$ は空間微分であり、右辺のそれは偏微分であることに注意が必要である。式（9）及び式（10）の右辺の第一項は、位置$\backslash \; \backslash mathbf\; x$ で発生する特性$\backslash \; p\_\{ij\backslash ldots\}(\backslash mathbf\; x,t)$ の局所変化率を与える。式（10）の右辺第二項は対流変化率であり、空間内で運動している質点の寄与を表現している。

空間表示における連続性は、空間的、時間的な連続性及び、速度場の連続的な微分可能性として表現される。あらゆる瞬間において、全ての物理量は時刻$\backslash \; t$ と位置ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; x$ の関数として同様に定義される。

変位場

変形なし形状内の質点の位置$\backslash \; P$ と変形形状のそれを繋ぐベクトルは、物質表示では$\backslash \; \backslash mathbf\; u(\backslash mathbf\; X,t)=u\_i\backslash mathbf\; e\_i$ 、空間表示では$\backslash \; \backslash mathbf\; U(\backslash mathbf\; x,t)=U\_J\backslash mathbf\; E\_J$ と表記され、変位ベクトルと呼ばれる。

変位場は、物体内の全ての質点、全ての変位ベクトルのベクトル場であり、変形形状と変形なし形状を関連付けている。これは、変位場の項における連続体の変形もしくは運動の解析に便利である。一般的に変位場は、物質座標の項として式（11）で表される。一方、空間座標では式（12）で表される。
{{Indent|
$\backslash \; \backslash mathbf\; u(\backslash mathbf\; X,t)\; =\; \backslash mathbf\; b+\backslash mathbf\; x(\backslash mathbf\; X,t)\; -\; \backslash mathbf\; X\; \backslash qquad\; \backslash text\{or\}\backslash qquad\; u\_i\; =\; \backslash alpha\_\{iJ\}b\_J\; +\; x\_i\; -\; \backslash alpha\_\{iJ\}X\_J$ …式（11）

$\backslash \; \backslash mathbf\; U(\backslash mathbf\; x,t)\; =\; \backslash mathbf\; b+\backslash mathbf\; x\; -\; \backslash mathbf\; X(\backslash mathbf\; x,t)\; \backslash qquad\; \backslash text\{or\}\backslash qquad\; U\_J\; =\; b\_J\; +\; \backslash alpha\_\{Ji\}x\_i\; -\; X\_J\; \backslash ,$ …式（12）
}}
ここで$\backslash \; \backslash alpha\_\{Ji\}$ は、物質基底$\backslash mathbf\; e\_i$ と空間基底$\backslash \; \backslash mathbf\; E\_J$ の余弦であり、式（13）のように表わされる。また、$\backslash \; u\_i$ と$\backslash \; U\_J$ の関係は式（14）で与えられる。
{{Indent|
$\backslash \; \backslash mathbf\; E\_J\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; e\_i\; =\; \backslash alpha\_\{Ji\}=\backslash alpha\_\{iJ\}$ …式（13）

$\backslash \; u\_i=\backslash alpha\_\{iJ\}U\_J\; \backslash qquad\; \backslash text\{or\}\; \backslash qquad\; U\_J=\backslash alpha\_\{Ji\}u\_i$ …式（14）
}}
それにより、物質基底$\backslash mathbf\; e\_i$ と空間基底$\backslash \; \backslash mathbf\; E\_J$ 、及び変位場の物質表示$\backslash \; u\_i$ と空間表示$\backslash \; U\_J$ の関係は式（15）、（16）で導かれる。
{{Indent|
$\backslash \; \backslash mathbf\; e\_i\; =\; \backslash alpha\_\{iJ\}\backslash mathbf\; E\_J$ …式（15）

$\backslash mathbf\; u(\backslash mathbf\; X,t)=u\_i\backslash mathbf\; e\_i=u\_i(\backslash alpha\_\{iJ\}\backslash mathbf\; E\_J)=U\_J\backslash mathbf\; E\_J=\backslash mathbf\; U(\backslash mathbf\; x,t)$ …式（16）
}}
$\backslash \; \backslash mathbf\; b=0$ の場合、物質基底と空間基底を統合することが合理的であり、その際物質基底$\backslash mathbf\; e\_i$ と空間基底$\backslash \; \backslash mathbf\; E\_J$ の余弦はクロネッカーのδと等価、つまり$\backslash \; \backslash mathbf\; E\_J\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; e\_i\; =\; \backslash delta\_\{Ji\}=\backslash delta\_\{iJ\}$ となる。それ故、式（17）、（18）が導かれる。
{{Indent|
$\backslash \; \backslash mathbf\; u(\backslash mathbf\; X,t)\; =\; \backslash mathbf\; x(\backslash mathbf\; X,t)\; -\; \backslash mathbf\; X\; \backslash qquad\; \backslash text\{or\}\backslash qquad\; u\_i\; =\; x\_i\; -\; \backslash delta\_\{iJ\}X\_J$ …式（17）

$\backslash \; \backslash mathbf\; U(\backslash mathbf\; x,t)\; =\; \backslash mathbf\; x\; -\; \backslash mathbf\; X(\backslash mathbf\; x,t)\; \backslash qquad\; \backslash text\{or\}\backslash qquad\; U\_J\; =\; \backslash delta\_\{Ji\}x\_i\; -\; X\_J$ …式（18）
}}
式（17）は物質座標系による表現であり、式（18）は空間座標系による表現である。

歪み

400px|right|thumb|図3.連続体の変形
図3において、体積要素$\backslash mathcal\; B$ を連続体中の微粒子と想定すると、$\backslash \; \backslash mathbf\; X\; ,\; \backslash mathbf\; x$ は微粒子の位置ベクトル、$\backslash \; d\; \backslash mathbf\; X\; ,\; d\; \backslash mathbf\; x$ は微粒子内における質点の位置ベクトルである。そこで、質点$\backslash \; Q$ と$\backslash \; q$ を結び付ける変位ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; u(\backslash mathbf\; X\; +\; d\; \backslash mathbf\; X\; )$ は、微粒子の並進を示す変位ベクトル$\backslash \; \backslash mathbf\; u(\backslash mathbf\; X)$ と微粒子内部における変位ベクトル$\backslash \; d\; \backslash mathbf\; u$ の和で表わされる。連続体の運動は、並進、剛体回転、変形に分離されるが、$\backslash \; d\; \backslash mathbf\; u$ は微粒子の剛体回転と変形による変位である。

体積要素$\backslash mathcal\; B$ は微粒子であるため、ベクトル$\backslash \; d\; \backslash mathbf\; X\; ,\; d\; \backslash mathbf\; u$ は微小量であり、両者を関係づける写像は式（19）のように変位勾配と呼ばれるテンソル$\backslash \; \backslash boldsymbol\; H$ を用いて線形変換で表現される。同様にベクトル$\backslash \; d\; \backslash mathbf\; X\; ,\; d\; \backslash mathbf\; x$ も変形勾配と呼ばれるテンソル$\backslash \; \backslash boldsymbol\; F$ を用いて式（20）に関連付けられる。変位勾配$\backslash \; \backslash boldsymbol\; H$ と変形勾配$\backslash \; \backslash boldsymbol\; F$ の間には式（21）の関係が成立する。ここで$\backslash \; \backslash boldsymbol\; I$ は恒等テンソルである。
{{Indent|
$\backslash \; d\; \backslash mathbf\; u\; =\; \backslash boldsymbol\; H\; \backslash \; d\; \backslash mathbf\; X\; \backslash qquad\; \backslash text\{or\}\; \backslash qquad\; H\_\{ij\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\_i\}\{\backslash partial\; X\_j\; \}$ …式（19）

$\backslash \; d\; \backslash mathbf\; x\; =\; \backslash boldsymbol\; F\; \backslash \; d\; \backslash mathbf\; X\; \backslash qquad\; \backslash text\{or\}\; \backslash qquad\; F\_\{ij\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; X\_j\; \}$ …式（20）

$\backslash \; \backslash boldsymbol\; F\; =\; \backslash boldsymbol\; I\; +\; \backslash boldsymbol\; H$ …式（21）
}}
テンソル$\backslash \; \backslash boldsymbol\; F\; ,\; \backslash boldsymbol\; H$ は共に体積要素$\backslash mathcal\; B$ の剛体回転及び歪みを示したテンソルであるが、対称部分が歪みに相当し、反対称部分が剛体回転に相当する。そこで、テンソル$\backslash \; \backslash boldsymbol\; F\; ,\; \backslash boldsymbol\; H$ から歪みを取り出す操作は、対称テンソルを取り出すことと同義である。

変形が微小である時、式（22）で与えられるデカルト分解により、変位勾配$\backslash \; \backslash boldsymbol\; H$ は微小歪み$\backslash \; \backslash boldsymbol\{\backslash varepsilon\}$ と微小回転$\backslash \; \backslash boldsymbol\{\backslash Omega\}$ に分解される。ここで上付きの$\backslash \; T$ は転置を示す。

{{Indent|$\backslash \; \backslash boldsymbol\; H\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash boldsymbol\; H\; +\; \backslash boldsymbol\; H^\{T\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash boldsymbol\; H\; -\; \backslash boldsymbol\; H^\{T\}\; \backslash right)\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash varepsilon\}\; +\; \backslash boldsymbol\{\backslash Omega\}$ …式（22）}}

デカルト分解は剛体回転と歪みを完全に分離するものではなく、微小変形時のみ用いることの出来る近似である。そこで大変形問題を扱う際は、式（23）（24）に示されるGreenの歪みテンソル$\backslash \; \backslash boldsymbol\; E$ 、Almansiの歪みテンソル$\backslash \; \backslash boldsymbol\{\backslash Lambda\}$ を用いる。Greenの歪みテンソル$\backslash \; \backslash boldsymbol\; E$ はラグランジュ表示の歪みテンソルとも呼び、物質表示において使用される。Almansiの歪みテンソル$\backslash \; \backslash boldsymbol\{\backslash Lambda\}$ はオイラー表示の歪みテンソルとも呼び、空間表示において使用される。
{{Indent|
$\backslash \; \backslash boldsymbol\; E\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash boldsymbol\; F^\{T\}\; \backslash boldsymbol\; F\; -\; \backslash boldsymbol\; I\; \backslash right)$ …式（23）

$\backslash \; \backslash boldsymbol\{\backslash Lambda\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash boldsymbol\; I\; -\; \backslash boldsymbol\; F^\{-T\}\; \backslash boldsymbol\; F^\{-1\}\; \backslash right)$ …式（24）
}}

参考文献

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| title =Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity
| publisher = CRC Press
| date = 2006
| location = Germany
| url = http://books.google.ca/books?id=Nn4kztfbR3AC&rview=1
| isbn = 0849397790}}

• {{cite book

| last = Hutter | first = Kolumban
| coauthors = Klaus Jöhnk
| title = Continuum Methods of Physical Modeling
| publisher = Springer
| date = 2004
| location = Germany
| url = http://books.google.ca/books?id=B-dxx724YD4C
| isbn = 3540206191}}

• {{cite book

| last = Lubarda
| first = Vlado A.
| title = Elastoplasticity Theory
| publisher = CRC Press
| date = 2001
| url = http://books.google.ca/books?id=1P0LybL4oAgC
| isbn = 0849311381 }}

• {{cite book

| last = Lubliner
| first = Jacob
| title = Plasticity Theory (Revised Edition)
| publisher = Dover Publications
| date = 2008
| url = http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
| isbn = 0486462900}}

• {{cite book

| last = Mase
| first = George E.
| title = Continuum Mechanics
| publisher = McGraw-Hill Professional
| date = 1970
| url = http://books.google.ca/books?id=bAdg6yxC0xUC&rview=1
| isbn = 0070406634 }}

• {{cite book

| last = Mase
| first = G. Thomas
| coauthors = George E. Mase
| title = Continuum Mechanics for Engineers
| publisher = CRC Press
| date = 1999
|edition= Second Edition
| url = http://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&rview=1
| isbn = 0-8493-1855-6 }}

• {{cite book

| last = Nemat-Nasser
| first = Sia
| title = Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials
| publisher = Cambridge University Press
| date = 2006
| location = Cambridge
| url = http://books.google.ca/books?id=5nO78Rt0BtMC
| isbn = 0521839793}}

• {{cite book

| last = Rees
| first = David
| title = Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications
| publisher = Butterworth-Heinemann
| year = 2006
| url = http://books.google.ca/books?id=4KWbmn_1hcYC
| isbn = 0750680253}}

関連項目

• ナビエ-ストークス方程式
• シェイクダウン (連続体力学)
• ニュートン力学
• テンソル

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Category:力学